2014.11.04掲載のリライト
$m\frac{dv}{dt} v\ $が$\frac{d}{dt} \Bigl( \frac{1}{2} mv^2 \Bigr) \ $と式変形ができる理由
運動方程式の式変形
自由落下のモデルにおいて
運動方程式の両辺に$v=\frac{dx}{dt}$を掛けると
\begin{eqnarray*}
m\frac{dv}{dt}v=mg\frac{dx}{dt}
\end{eqnarray*}
この式で右辺が$\frac{d}{dt}(mgx)$となるのは納得がいくだろう。
何故、$\frac{d}{dt}(\ \ \ )$の内部に入れることができるのか？
というのは、$m$も$g$の定数であるから微分の中に入れても変化しない。
$\frac{d}{dt}(\ \ \ )$の中に入れたい理由
$\frac{d}{dt}(\ \ \ )$というのは$(\ \ \ )$の時間変化を考えるという意味である。
物理において「時間的にどのように変わっていくのか」を考えることは重要です。
従って、$\frac{d}{dt}(\ \ \ )$でくくって考えるという目的で式変形をしているのです。
左辺について
さて、問題の左辺を見てみよう。
$m\frac{dv}{dt}v$で$m$は定数なのでおいておくと、$\frac{dv}{dt}v$これは$v$と$v$の$t$で微分したという形になっている。
これは合成関数を微分した時にできる形と同じになっていると考えることができる。
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt}(v^2) & = & 2 \cdot v \cdot v' \\
& = & 2v \frac{dv}{dt}
\end{eqnarray*}
この式と$\frac{dv}{dt}v$を見比べると微分した時、$2$乗の$2$が係数として前に出た分の違いがある。
よって、元を$\frac{1}{2}$しておけばつじつまが合うということになります。
つまり
\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dt} \Bigl( \frac{1}{2} v^2 \Bigr) & = &\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot v \cdot v' \\
& = & \frac{1}{2} \cdot 2v \frac{dv}{dt} \\
& = & v \frac{dv}{dt}
\end{eqnarray*}
となります。
従って、
\begin{eqnarray*}
v \frac{dv}{dt} & = & \frac{d}{dt} \Bigl( \frac{1}{2} v^2 \Bigr) \\
\end{eqnarray*}
と変形できることがわかります。
元の式に戻ると、
\begin{eqnarray*}
m v \frac{dv}{dt} &=& \frac{d}{dt} \Bigl( \frac{1}{2} m v^2 \Bigr) \\
\end{eqnarray*}
の変形ができることになります。
同様な式変形に、単振動の運動モデルで
\begin{eqnarray*}
k x \frac{dx}{dt} &=& \frac{d}{dt} \Bigl( \frac{1}{2} k x^2 \Bigr) \\
\end{eqnarray*}
というものがあります。