2014.11.21掲載のリライト
交流回路のコイルにおいて電流の位相と電圧の位相が$\frac{\pi}{2} \mbox{[rad]}$ずれる理由
交流電源の電圧$V(t)$を
\begin{eqnarray*}
V(t)=V_0 \sin \omega t
\end{eqnarray*}
とする。
インダクタンス$L$として
電圧$V(t)$と電流$I(t)$の関係は
\begin{eqnarray*}
V(t)=L \frac{dI(t)}{dt}
\end{eqnarray*}
で表される。
従って、電流$I(t)$は
\begin{eqnarray*}
\frac{dI(t)}{dt} = \frac{V(t)}{L}
\end{eqnarray*}
より、
\begin{eqnarray*}
I(t) & = & \frac{1}{L} \int ^t V(t')dt' \\
&=& \frac{1}{L} \int ^t V_0 \sin \omega t dt' \\
&=& \frac{V_0}{L} \int ^t \sin \omega t dt' \\
&=& \frac{V_0}{L} \frac{1}{\omega} (-1) \cos \omega t \\
&=& -\frac{V_0}{\omega L} \cos \omega t \\
&=& \frac{V_0}{\omega L} \sin \Bigl( \omega t - \frac{\pi}{2} \Bigr)\\
\end{eqnarray*}
となり、コイルに流れる電流の位相は電圧の位相より$\frac{\pi}{2} \mbox{[rad]}$だけ遅れていることになる。
