2014.11.19掲載のリライト
交流回路のコンデンサーにおいて電流の位相と電圧の位相が$\frac{\pi}{2} \mbox{[rad]}$ずれる理由
交流電源の電圧$V(t)$を
\begin{eqnarray*}
V(t)=V_0 \sin \omega t
\end{eqnarray*}
とする。
コンデンサーに蓄えられる電荷$Q(t)$は
\begin{eqnarray*}
Q(t)=CV(t)
\end{eqnarray*}
である。
電流$I(t)$は
\begin{eqnarray*}
I(t) = \frac{dQ(t)}{dt}
\end{eqnarray*}
で定義されるので
\begin{eqnarray*}
I(t) & = & \frac{dQ(t)}{dt} \\
& = & \frac{d}{dt}\Bigl( CV(t) \Bigr) \\
& = & \frac{d}{dt} (C V_0 \sin \omega t) \\
& = & C V_0 \frac{d}{dt} (\sin \omega t) \\
& = & \omega C V_0 \cos \omega t \\
& = & \omega C V_0 \sin \Bigl( \omega t + \frac{\pi}{2} \Bigr)\\
\end{eqnarray*}
となり、コンデンサーに流れる電流の位相は電圧の位相より$\frac{\pi}{2} \mbox{[rad]}$だけ進んでいることになる。
